Es sei K {\displaystyle {}K} ein Körper und K ⊆ L {\displaystyle {}K\subseteq L} eine endliche Galoiserweiterung. Es sei R = K [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]} und R L = L [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle {}R_{L}=L[X_{1},\ldots ,X_{n}]} . Zu jedem φ ∈ Gal ( L | K ) {\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)} gehört der Ringautomorphismus φ : R L → R L {\displaystyle {}\varphi \colon R_{L}\rightarrow R_{L}} und φ ∗ : A L n → A L n {\displaystyle {}\varphi ^{*}\colon {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{L}^{n}}} , vergleiche Aufgabe. Zeige, dass ein Punkt ( a 1 , … , a n ) ∈ L n {\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L^{n}} genau dann zu K n {\displaystyle {}K^{n}} gehört, wenn er unter allen φ ∗ {\displaystyle {}\varphi ^{*}} zu φ ∈ Gal ( L | K ) {\displaystyle {}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)} auf sich selbst abgebildet wird.
ein
Körper
und
eine endliche
Galoiserweiterung.
Es sei
![{\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a197a82aa4609b8c91ddaa5aff5321727b4e17)
und
![{\displaystyle {}R_{L}=L[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0498abc925b40397df8a044fd1f7aaa4d0c8b79)
.
Zu jedem
gehört der
Ringautomorphismus
und
,
vergleiche
Aufgabe.
Zeige, dass ein Punkt
genau dann zu 
gehört, wenn er unter allen 
zu
auf sich selbst abgebildet wird.
