Endlicher Körper/23 hoch 2/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir konstruieren einen Körper mit Elementen und knüpfen dabei an Beispiel an. Da die primitiv ist, folgt, dass das Polynom irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre ein Quadrat mit . Doch dann wäre , was nicht der Fall ist.

Es folgt nach Fakt, dass

ein Körper ist. Dieser hat Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als  mit schreiben kann ( bezeichne die Restklasse von ). Dieser Körper enthält , und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht (und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper).

Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an Fakt. Die Ordnung von ist . Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die hat die Ordnung . Das Element hat die Ordnung , es ist nämlich

Um ein Element der Ordnung zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus . Es ist

Eine Quadratwurzel aus ist , wegen

Um eine Quadratwurzel für zu finden, setzen wir an, was zum Gleichungssystem und über führt. Es ist dann , was zu bzw. zur biquadratischen Gleichung

führt. Normieren ergibt . Quadratisches Ergänzen führt zu

Daher ist und somit und , also ist ein Element der Ordnung . Damit ist insgesamt

eine primitive Einheit nach Fakt.