Endlicher Körper/Einheitswurzeln/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei ${}a$ der größte gemeinsame Teiler von ${}n$ und ${}q-1$. Zeige, dass es in ${}{\mathbb {F} }_{q}$ genau ${}a$ ${}n$-te Einheitswurzeln gibt.

Man folgere, dass es ${}n$ ${}n$-te Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {F} }_{q}$ genau dann gibt, wenn ${}n$ ein Teiler von ${}q-1$ ist.

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