Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Beweis2

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Beweis

Wenn diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.

Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Es seien

Basen der Eigenräume für . Dies sind insgesamt Vektoren. Sei

eine Darstellung der . Mit
ergibt sich

, wobei die aus den verschiedenen Eigenräumen sind. Nach Fakt sind diese Vektoren linear unabhängig, also müssen alle sein. Damit müssen auch alle

sein und die gewählten Basisvektoren der Eigenräume sind linear unabhängig. Daher bilden sie eine Basis.

Zur bewiesenen Aussage