Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt/Beweis2
Wenn
diagonalisierbar
ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine
Diagonalmatrix
beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer
geometrischen Vielfachheit.
Das
charakteristische Polynom
lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.
Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und
seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Es seien
Basen der Eigenräume für . Dies sind insgesamt Vektoren. Sei
eine Darstellung der . Mit
ergibt sich , wobei die aus den verschiedenen Eigenräumen sind. Nach Fakt sind diese Vektoren linear unabhängig, also müssen alle sein. Damit müssen auch alle
sein und die gewählten Basisvektoren der Eigenräume sind linear unabhängig. Daher bilden sie eine Basis.