Endomorphismus/Diagonalisierbar/Algebraische und geometrische Vielfachheit/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} \mu_\lambda = \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) } \, }

gilt.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen