Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

(1). Wegen  ${}\varphi (0)=0=\lambda 0$  gehört der Nullvektor zu ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$. Es seien  ${}u,v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$  und sei  ${}w=au+bv$.  Dann ist

${}\varphi (w)=a\varphi (u)+b\varphi (v)=a\lambda u+b\lambda v=\lambda (au+bv)=\lambda w\,.$

(2) und (3) folgen direkt aus den Definitionen.

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