Beweis
Wir schreiben das
charakteristische Polynom
zu
als
-

wobei
in
nicht als Linerarfaktor vorkommt, d.h.
ist die algebraische Vielfachheit von
. Dann sind
und
teilerfremd
und nach
Fakt
ist dann
-

und
-
ist eine Bijektion. Es ist ferner
-

wobei die Inklusion
klar ist und die andere Inklusion sich daraus ergibt, dass höhere Potenzen von
wegen der eben erwähnten Bijektivität auf
keine weiteren Elemente annullieren. Für das charakteristische Polynom gilt wegen der direkten Summenzerlegung nach
Fakt
die Beziehung
-

wobei
das charakteristische Polynom zu
und
das charakteristische Polynom zu
ist. Da
auf
die Nullabbildung ist, ist das Minimalpolynom zu
und damit auch das charakteristische Polynom
eine Potenz von
, sagen wir
-

wobei
-

sei. Insbesondere ist somit
,
da
ein Teiler von
ist. Bei
müsste
eine Nullstelle von
sein und
wäre ein Eigenwert von
. Dies ist aber ein Widerspruch dazu, dass
auf diesem Raum eine Bijektion ist.