Endomorphismus/Körpererweiterung/L-Primfaktorzerlegung von K-Primpolynom entspricht Primärzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}g\in \operatorname {End} _{K}V$ ein Endomorphismus. Wir behaupten die Identität: ${}(\operatorname {Kern} g)_{(L)}=\operatorname {Kern} (g_{(L)})$ Zum Beweis: Fixieren wir eine Basis von ${}V$ bzw. ${}V_{(L)}$. Weil ${}g$ und ${}g_{(L)}$ durch die selben Matrizen beschrieben werden, lassen sich die Kerne als Unterräume jeweils durch die selben Basen erzeugen. Dadurch folgt die Behauptung.

Der Rest ist nach Fakt mit ${}P^{n}=P_{1}^{ne_{1}}\cdots P_{k}^{ne_{k}}$ ganz einfach:

${}V^{n}(P)_{(L)}=\left(\operatorname {Kern} P^{n}(f)\right)_{(L)}=\operatorname {Kern} \left(P^{n}(f_{(L)})\right)=\bigoplus _{i=1}^{k}V_{(L)}^{ne_{i}}(P_{i})\,.$

  Damit folgt auch die Aussage für ${}V(P)_{(L)}$ und der Zusatz.

Zur bewiesenen Aussage