Endomorphismus/Körpererweiterung/L-Primfaktorzerlegung von K-Primpolynom entspricht Primärzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $g \in {End}_{K} V$ ein Endomorphismus. Wir behaupten die Identität: $(Kern g)_{(L)} = Kern (g_{(L)})$ Zum Beweis: Fixieren wir eine Basis von $V$ bzw. $V_{(L)}$ . Weil $g$ und $g_{(L)}$ durch die selben Matrizen beschrieben werden, lassen sich die Kerne als Unterräume jeweils durch die selben Basen erzeugen. Dadurch folgt die Behauptung.

Der Rest ist nach Fakt mit $P^{n} = P_{1}^{n e_{1}} \dots P_{k}^{n e_{k}}$ ganz einfach:

V^{n} (P)_{(L)} = {(Kern P^{n} (f))}_{(L)} = Kern (P^{n} (f_{(L)})) = ⨁_{i = 1}^{k} V_{(L)}^{n e_{i}} (P_{i}) .

Damit folgt auch die Aussage für

V (P)_{(L)}

und der Zusatz.

Zur bewiesenen Aussage