Endomorphismus/Körpererweiterung/L-Primfaktorzerlegung von K-Primpolynom entspricht Primärzerlegung/Fakt

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit der zugehörigen Erweiterung ${}V_{(L)}$ als ${}L$-Vektorraum. Es sei ${}f\in \operatorname {End} _{K}V$ ein fixierter Endomorphismus. Des weiteren sei ${}P\in K[X]$ ein Primpolynom,welches in ${}L[X]$ die kanonische Primfaktorzerlegung

$P=P_{1}^{e_{1}}\cdots P_{k}^{e_{k}}$

besitzt.

Dann gilt für die Primärkomponenten der Zusammenhang

$V_{f}^{n}(P)_{(L)}=\bigoplus _{i=1}^{k}{V}_{f_{(L)}}^{ne_{i}}(P_{i})$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und damit auch

$V_{f}(P)_{(L)}=\bigoplus _{i=1}^{k}{V}_{f_{(L)}}(P_{i}).$

Es folgt außerdem, dass ein normiertes Primpolynom ${}P'$ genau dann ein Eigenpolynom von ${}f_{(L)}$ ist, wenn es ein Eigenpolynom von ${}f$ teilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen