Endomorphismus/Körpererweiterung/L-Primfaktorzerlegung von K-Primpolynom entspricht Primärzerlegung/Fakt

Es sei $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung und $V$ ein $K$ -Vektorraum mit der zugehörigen Erweiterung $V_{(L)}$ als $L$ -Vektorraum. Es sei $f \in {End}_{K} V$ ein fixierter Endomorphismus. Des weiteren sei $P \in K [X]$ ein Primpolynom,welches in $L [X]$ die kanonische Primfaktorzerlegung

P = P_{1}^{e_{1}} \dots P_{k}^{e_{k}}

besitzt.

Dann gilt für die Primärkomponenten der Zusammenhang

$V_{f}^{n} (P)_{(L)} = ⨁_{i = 1}^{k} V_{f_{(L)}}^{n e_{i}} (P_{i})$

für alle $n \in ℕ$ und damit auch

$V_{f} (P)_{(L)} = ⨁_{i = 1}^{k} V_{f_{(L)}} (P_{i}) .$

Es folgt außerdem, dass ein normiertes Primpolynom $P^{'}$ genau dann ein Eigenpolynom von $f_{(L)}$ ist, wenn es ein Eigenpolynom von $f$ teilt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen