Endomorphismus/K/Potenz/Beschränktheit/Fakt/Beweis

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Beweis

Aus (1) folgt (2). Sei . Wir können mit einer beliebigen Norm auf und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann ist wegen

auch beschränkt. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

eine Linearkombination ist, so ist

und aus der Beschränktheit der beteiligten Folgen folgt die Beschränktheit dieser Summenfolge. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar, da über die jordansche Normalform existiert und man die Eigenwerte und die Vielfachheiten aus den Jordan-Blöcken ablesen kann. Von (2) nach (5). Wir können annehmen. Es sei

ein Jordan-Block der jordanschen Normalform. Bei

ergibt sich für einen zugehörigen Eigenvektor wegen

direkt ein Widerspruch zur Beschränktheit. Sei also

und sei angenommen, dass der Jordan-Block mindestens die Länge zwei besitzt. Nach Aufgabe ist

Dabei ist aber die erste Komponente

nicht beschränkt im Widerspruch zur Voraussetzung.

Für den Schluss von (5) auf (1) können wir die einzelnen Jordan-Blöcke getrennt voneinander analysieren, da die Stabilität nach Aufgabe mit einer Zerlegung in direkte Summanden verträglich ist. Für den ersten Typ folgt die Aussage aus Fakt, für den Typ mit ist es klar, da die Norm der Potenzen konstant gleich ist.

Zur bewiesenen Aussage