Beweis
Aus (1) folgt (2). Es sei
.
Wir können mit einer beliebigen
Norm
auf
und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann ist wegen
-

auch
beschränkt. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und
-

eine Linearkombination ist, so ist
-

und aus der Beschränktheit der beteiligten Folgen
folgt die Beschränktheit dieser Summenfolge. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar, da über
die jordansche Normalform existiert und man die Eigenwerte und die Vielfachheiten aus den Jordan-Blöcken ablesen kann. Von (2) nach (5). Wir können
annehmen. Es sei
-

ein Jordan-Block der jordanschen Normalform. Bei
-

ergibt sich für einen zugehörigen Eigenvektor
wegen
-

direkt ein Widerspruch zur Beschränktheit. Sei also
-

und sei angenommen, dass der Jordan-Block mindestens die Länge zwei besitzt. Nach
Aufgabe
ist
-

Dabei ist aber die erste Komponente
-

nicht beschränkt im Widerspruch zur Voraussetzung.
Für den Schluss von (5) auf (1) können wir die einzelnen Jordan-Blöcke getrennt voneinander analysieren, da die Stabilität nach
Aufgabe
mit einer Zerlegung in direkte Summanden verträglich ist. Für den ersten Typ folgt die Aussage aus
Fakt,
für den Typ
mit
ist es klar, da die Norm der Potenzen konstant gleich
ist.