Endomorphismus/K/Potenz/Nullkonvergenz/Fakt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.
2. Zu jedem  ${}v\in V$  konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen  ${}0\in V$. 
3. Es gibt ein Erzeugendensystem  ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$  derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, gegen ${}0$ konvergiert.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen