Etale trivialisierbar/Projektiv/Nicht trivial/Fakt/Beweis

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

Wir geben noch einen Beweis, der sich stärker an der Invariantentheorie orientiert. Sei

$\varphi \colon Y\longrightarrow X$

die étale Überlagerung mit der Galoisgruppe ${}H$ und der linearen äquivarianten Operation von ${}H$ auf ${}Y\times {\mathbb {A} }^{r}$, die der Darstellung entspricht, und sei ${}E$ das zugehörige Bündel auf ${}X$. Die Schnitte in ${}E$ über ${}X$ entsprechen den ${}H$-invarianten Schnitten von ${}{\mathbb {A} }^{r}$ über ${}Y$. Da ${}Y$ projektiv und zusammenhängend ist, liegt die Beziehung

$\Gamma (X,E)=\Gamma (Y,{\mathbb {A} }^{r})^{H}\subseteq \Gamma (Y,{\mathbb {A} }^{r})=K^{r}$

vor. Wir zeigen, dass nicht alle globalen Schnitte ${}H$-invariant sind. Dann besitzt ${}E$ weniger als ${}r$ linear unabhängige globale Schnitte und kann daher nicht trivial sein. Da die Darstellung nichttrivial ist, gibt es ein ${}h\in H$, das nicht wie die Identität operiert. Dann gibt es aber auch einen Vektor ${}v\in K^{n}$ mit ${}hv\neq v$. Der entsprechende konstante Schnitt in ${}{\mathbb {A} }^{r}$ über ${}Y$ ist nicht ${}H$-invariant.

Zur bewiesenen Aussage