Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}f=gh$  eine Faktorzerlegung. Dann ist  ${}N(f)=N(g)N(h)$  und da nach Voraussetzung ${}N(f)$ eine Primzahl ist, folgt, dass einer der Faktoren, sagen wir ${}N(h)$, eine Einheit ist, also  ${}N(h)=1$.  Wir wenden auf ${}1$ und ${}h$ die Division mit Rest an und erhalten

${}1=qh+r\,,$

wobei  ${}r=0$  ist oder  ${}N(r)<N(h)=1$.  Letzteres ist aber ausgeschlossen, sodass  ${}r=0$  sein muss und damit ist ${}h$ eine Einheit. Also ist ${}f$ irreduzibel.

Zur bewiesenen Aussage