Euklidische Ebene/Endliche Untergruppe/Eigentlich/Zyklisch/Fakt/Beweis

Beweis

Jedes Element aus $G$ ist nach Fakt eine Drehung der Ebene um einen bestimmten Winkel $\theta$. Wir betrachten den surjektiven Gruppenhomomorphismus

$ℝ⟶{\mathrm{SO}}_2,\theta ⟼D(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),$

der einen Winkel auf die zugehörige Drehung abbildet. Es sei  $H\subseteq ℝ$  das Urbild von $G$ unter dieser Abbildung, d.h. $H$ besteht aus allen Drehwinkeln zu Drehungen, die zu $G$ gehören. Die Gruppe $H$ wird von einem Repräsentantensystem für die Elemente aus $G$ zusammen mit $2\pi$ erzeugt. Insbesondere ist also $H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von $ℝ$. Da jedes Gruppenelement aus $G$ eine endliche Ordnung besitzt, muss jedes  $\theta \in H$  die Gestalt  $\theta =2\pi q$  mit einer rationalen Zahl  $q\in \mathbb{Q}$  haben. Dies bedeutet, dass $H$ eine endlich erzeugte Untergruppe von  $2\pi \mathbb{Q}\subseteq ℝ$  ist. Damit ist $H$ isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe der rationalen Zahlen. Nach Aufgabe ist $H$ zyklisch, sagen wir  $H=\mathbb{Z}\alpha$  mit einem eindeutig bestimmten Winkel  $\alpha \in [0,2\pi )$.  Dann ist die Gruppe $G$ als Bild von $H$ ebenfalls zyklisch.

Zur bewiesenen Aussage