Euklidische Ebene/Endliche Untergruppe/Eigentlich/Zyklisch/Fakt/Beweis

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Beweis

Jedes Element aus ist nach Fakt eine Drehung der Ebene um einen bestimmten Winkel . Wir betrachten den surjektiven Gruppenhomomorphismus

der einen Winkel auf die zugehörige Drehung abbildet. Es sei das Urbild von unter dieser Abbildung, d.h. besteht aus allen Drehwinkeln zu Drehungen, die zu gehören. Die Gruppe wird von einem Repräsentantensystem für die Elemente aus zusammen mit erzeugt. Insbesondere ist also eine endlich erzeugte Untergruppe von . Da jedes Gruppenelement aus eine endliche Ordnung besitzt, muss jedes die Gestalt mit einer rationalen Zahl haben. Dies bedeutet, dass eine endlich erzeugte Untergruppe von ist. Damit ist isomorph zu einer endlich erzeugten Untergruppe der rationalen Zahlen. Nach Aufgabe ist zyklisch, sagen wir mit einem eindeutig bestimmten Winkel . Dann ist die Gruppe als Bild von ebenfalls zyklisch.

Zur bewiesenen Aussage