Euklidische Ebene/Uneigentliche Isometrie/Achsenspiegelung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten

$\varphi \circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},$

was nach dem Determinantenmultiplikationssatz eine eigentliche Isometrie ist. Nach Fakt gibt es somit einen eindeutig bestimmten Winkel ${}\alpha \in [0,\pi [$ mit

${}\varphi \circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,.$

Somit ist

${}\varphi ={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage