Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Fakt/Beweis

Beweis

Da $V$ und $W$ isometrisch sind, können wir eine Isometrie vorschalten und annehmen, dass $\phi$ eine winkeltreue Abbildung auf $W$ ist. Es sei

$r=det\phi$

und es sei

$s:=\sqrt[n]{|r|},$

wobei $n$ die Dimension von $W$ sei. Es sei $\sigma$ die Streckung mit dem Faktor $s$ und wir betrachten die Abbildung

$\psi :={\sigma }^{-1}\circ \phi .$

Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist $1$ oder $-1$. Nach Aufgabe ist $\psi$ eine Isometrie.

Zur bewiesenen Aussage