Euklidischer Bereich/Partialbruchzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt gibt es eine Darstellung

${}{\frac {f}{g}}={\frac {a_{1}}{p_{1}^{r_{1}}}}+{\frac {a_{2}}{p_{2}^{r_{2}}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{p_{k}^{r_{k}}}}\,.$

Auf die einzelnen Summanden wenden wir die Division mit Rest durch ${}p_{j}^{r_{j}}$ an und erhalten

${}{\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}=b_{j}+{\frac {a'_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$

mit

${}\delta {\left(a'_{j}\right)}<\delta {\left(p_{j}^{r_{j}}\right)}\,.$

Ferner kann man auf ${}a_{j}$ auch die Division mit Rest durch ${}p_{j}$ anwenden und erhält

${}{\frac {a_{j}}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}p+t}{p_{j}^{r_{j}}}}={\frac {c_{j}}{p_{j}^{r_{j}-1}}}+{\frac {t}{p_{j}^{r_{j}}}}\,$

mit

${}\delta (t)<\delta (p)\,.$

Den vorderen Summanden kann man in dieser Weise weiter abarbeiten.

Zur bewiesenen Aussage