Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Orthogonale Projektion/Fakt/Beweis

Beweis

Zu $u \in U$ ist nach dem Satz des Pythagoras

d (v, u)^{2} = d (v, p_{U} (v))^{2} + d (p_{U} (v), u)^{2},

da ja $p_{U} (v) - u \in U$ und $v - p_{U} (v) \in U^{⊥}$ aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird genau dann minimal, wenn $d (p_{U} (v), u) = 0$ ist, was genau bei

p_{U} (v) = u

der Fall ist.

Zur bewiesenen Aussage