Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis $u_1,\dots ,u_n$ gegeben und sei  $w=\sum _{i=1}^n{a}_i{u}_i$.  Dann ist für jedes $j$

$⟨w,u_j⟩=⟨\sum _{i=1}^n{a}_i{u}_i,u_j⟩=a_j=f(u_j).$

D.h. die beiden linearen Abbildungen $v\mapsto ⟨w,v⟩$ und $f$ stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Fakt identisch. Für jeden anderen Vektor  $w^{\prime }=\sum _{i=1}^n{b}_i{u}_i$  ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor $u_j$ von $f(u_j)$

verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.

Zur gelösten Aufgabe