Euklidischer Vektorraum/Lineare Isometrie zwischen/Charakterisierung/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für alle ${}u,v\in V$ ist ${}d(\varphi (u),\varphi (v))=d(u,v)$.
3. Für alle ${}v\in V$ ist ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =\Vert {v}\Vert$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen