Euklidischer Vektorraum/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Unterraum aufspannen. Für muss man lediglich normieren, also durch

ersetzen. Sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit bereits konstruiert. Wir setzen

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen und offenbar ist . Durch Normieren von erhält man .

Zur bewiesenen Aussage