Die Aussage wird durch Induktion über
bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Unterraum aufspannen. Für
muss man lediglich
normieren, also durch
-

ersetzen. Sei die Aussage für
schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren
mit
bereits konstruiert. Wir setzen
-

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen
und offenbar ist
.
Durch Normieren von
erhält man
.