Beweis
Die Aussage wird durch Induktion über
bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen
Untervektorraum
aufspannen. Für
muss man lediglich
normieren, also durch
-
![{\displaystyle {}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a30339aba1cd1624eafbec52a72f1ae92028ec)
ersetzen. Es sei die Aussage für
schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren
mit
bereits konstruiert. Wir setzen
-
![{\displaystyle {}w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a39a26700b06926ba53747dd794e7b2b2af27f2)
Dieser Vektor steht senkrecht auf allen
und offenbar ist
.
Durch Normieren von
erhält man
.