Euklidischer Vektorraum/R^3/Isometrie/Eigenvektor/Fakt/Beweis

Beweis

Das charakteristische Polynom ${}P$ zu ${}\varphi$ ist ein normiertes Polynom vom Grad drei. Für ${}t\to +\infty$ geht ${}P(t)\to +\infty$ und für ${}t\to -\infty$ geht ${}P(t)\to -\infty$. Nach dem Zwischenwertsatz besitzt daher ${}P$ mindestens eine Nullstelle. Eine solche Nullstelle ist ein Eigenwert von ${}\varphi$. Nach Fakt ist der Eigenwert gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$.

Zur bewiesenen Aussage