Eulersche Konstante/1 durch n/Reihe und Funktion/Beispiel

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Die Funktion

ist streng fallend. Daher ist die Funktion , die für mit () durch definiert ist, eine „Majorante“ für , also . Auf jedem Intervall liefert eine obere Treppenfunktion zu . Ebenso liefert die durch bei definierte Funktion eine untere Treppenfunktion für . Daher gelten die Abschätzungen

Das Integral in der Mitte besitzt den Wert . Die Differenz zwischen der linken und der rechten Summe ist . Daher ist die Differenz

für jedes positiv, mit wachsend und nach oben beschränkt. Daher existiert für der Limes, und dieser Limes ändert sich nicht, wenn man vorne in der Summe bis aufsummiert anstatt bis . Wir setzen

und nennen sie die eulersche Konstante (oder Mascheronische Konstante). Ihr numerischer Wert ist ungefähr

Es ist ein offenes mathematisches Problem, ob diese Zahl rational ist oder nicht.