Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt

Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale

Es sei  ${}I=[1,\infty ]$  ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige fallende Funktion mit  ${}f(x)\geq 0$  für alle  ${}x\in I$. 

Dann existiert das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$

genau dann, wenn die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

konvergiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen