Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt

Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale

Es sei ${}I=[1,\infty ]$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige fallende Funktion mit ${}f(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$.

Dann existiert das uneigentliche Integral

$\int _{1}^{\infty }f(t)\,dt$

genau dann, wenn die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

konvergiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen