Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n$

mit  $c_n=\sum _{i=0}^n\frac{z^i}{i!}\frac{w^{n-i}}{(n-i)!}$.  Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von $z+w$ nach der allgemeinen binomischen Formel gleich

$\frac{(z+w{)}^n}{n!}=\frac{1}{n!}\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})z^i{w}^{n-i}=c_n,$

sodass die beiden Seiten übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage