Beweis
Das
Cauchy-Produkt
der beiden Exponentialreihen ist
-
mit
-
![{\displaystyle {}c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644c375a5c127c58652a8deffe69d87b29e21682)
Diese Reihe ist nach
Fakt
absolut konvergent
und der
Grenzwert
ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der
-te Summand der Exponentialreihe von
nach
Fakt
gleich
-
![{\displaystyle {}{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}=c_{n}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f3e21f6c0cdc30e5e8363e59c9c95e16b66294)
so dass die beiden Seiten übereinstimmen.