Exponentialverteilung

Einleitung

Die Exponentialverteilung (auch negative Exponentialverteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen, die durch eine Exponentialfunktion und einen Verteilungsparameter $\lambda >0$ gegeben ist.

Veranschaulichung der Dichtefunktion

Anwendungsbeispiele

Sie wird als Modell vorrangig bei der Beantwortung der Frage nach der Länge von zufälligen Zeitintervallen benutzt, wie z. B.

Zeit zwischen zwei Anrufen
Lebensdauer von Atomen beim radioaktiven Zerfall
Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen.
als grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in Hausrat, Kraftfahrzeug-Haftpflicht, Kasko in der Versicherungsmathematik

Verteilungsparameter

Der Verteilungsparameter $\lambda$ steht für die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Wie aus dem Diagramm ersichtlich, sind kürzere Intervalle zwischen Ereignissen (Intervalllänge $x$ ) wahrscheinlicher. Seltener treten aber auch sehr lange Intervalle auf. Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann durchaus Werte >1 annehmen (z. B. für $\lambda =2$ ), da die Fläche unter der Kurve auf 1 normiert ist (Normierungseigenschaft). Konkrete Wahrscheinlichkeitsangaben über das Eintreten des nächsten Ereignisses gewinnt man hier am ehesten aus der Verteilungsfunktion.

Einfachungen in der Verteilungsannahme

Oft ist die tatsächliche Verteilung keine Exponentialverteilung, jedoch ist die Exponentialverteilung einfach zu handhaben und wird zur Vereinfachung unterstellt. Sie ist anwendbar, wenn ein Poisson-Prozess vorliegt, also die poissonschen Annahmen erfüllt sind.

Zugehörigkeit zur Verteilungsfamilie

Die Exponentialverteilung ist ein Teil der viel größeren und allgemeineren Exponentialfamilie, einer Klasse von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die sich durch eine leichte Handhabbarkeit auszeichnen.

Definition - Exponentialverteilung

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der Exponentialverteilung $\operatorname {Exp} (\lambda )$ mit dem positiven reellen inversen Skalenparameter $\lambda \in \mathbb {R} _{>0}$ , wenn sie die Dichtefunktion

f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda {\rm {e}}^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0\end{cases}}

besitzt. Wenn eine Zufallsvariable diese Dichte hat, dann schreibt man auch $X\sim {\mathcal {E}}(\lambda )$ oder $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ .

Der Parameter $\lambda$ besitzt den Charakter einer Ereignisrate und $1/\lambda$ den eines Ereignisabstandes (mittlere Reichweite oder mittlere Lebensdauer).

Eine (vor allem im angelsächsischen Raum übliche) alternative Parametrisierung führt zur Dichtefunktion

f_{\mu }(x)={\begin{cases}\displaystyle {\tfrac {1}{\mu }}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\mu }}}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}

Die Beziehung zur obigen Parametrisierung ist dabei einfach $\mu =1/\lambda$ . Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, den Erwartungswert explizit anzugeben, also von einer Exponentialverteilung mit Erwartungswert $1/\lambda$ zu sprechen.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die (kumulative) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist

F(x)=\int \limits _{0}^{x}f_{\lambda }\left(t\right)\ {\rm {d}}t={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&,x>0,\\0&,x\leq 0.\end{cases}}

Sie erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens des nächsten Ereignisses im Intervall von $0$ bis $x$ .

Die Wahrscheinlichkeit für eine Intervalllänge größer als $x$ bis zum nächsten Ereignis beträgt $\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ .

Erwartungswert

Die Exponentialverteilung besitzt den Erwartungswert ${\tfrac {1}{\lambda }}$ , denn

\operatorname {E} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }x\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda }}

.

Der Erwartungswert entspricht der mittleren Betriebsdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. Er wird in diesem Zusammenhang als Mean Time Between Failures (MTBF) bezeichnet.

Median

Die Exponentialverteilung besitzt ihren Median bei

{\tilde {x}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}

.

Modus

Den maximalen Wert nimmt die Dichtefunktion der Exponentialverteilung bei $x=0$ an, d. h., der Modus ist

x_{D}=0

.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog mittels

\operatorname {Var} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x-{\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\lambda \int \limits _{0}^{\infty }x^{2}\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x-2\int \limits _{0}^{\infty }x\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\lambda ^{2}}}

.

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

\sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}={\frac {1}{\lambda }}

.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten. Es gilt

\operatorname {VarK} (X)={\frac {\sqrt {\sigma ^{2}(X)}}{\operatorname {E} (X)}}={\frac {\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}{\operatorname {E} (X)}}

.

Also gilt

\operatorname {VarK} (X)=1

.

Geometrischer Mittelwert

Das Geometrische Mittel der Exponentialverteilung ist

\operatorname {GM} (X)=\exp \left(\int \limits _{0}^{\infty }\ln(x)\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\ln \left({\frac {1}{\lambda }}\right)-\gamma \right)={\frac {1}{\lambda \mathrm {e} ^{\gamma }}}

,

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Weitere Streumaße

Die mittlere absolute Abweichung

e={\frac {2/\mathrm {e} }{\lambda }}\approx {\frac {0{,}736}{\lambda }}

ist kleiner als die Standardabweichung, die mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians

{\mathit {MD}}={\frac {\ln 2}{\lambda }}\approx {\frac {0{,}693}{\lambda }}

ist noch etwas kleiner.

Schiefe

Die Schiefe besitzt unabhängig vom Parameter $\lambda$ immer den Wert 2. Die Verteilung ist ein typischer Vertreter einer rechtsschiefen Verteilung, für die auch ${\tilde {x}}<E(X)$ gilt.

Wölbung

Die Wölbung besitzt unabhängig vom Parameter $\lambda$ immer den Wert 9.

Quantile

Die Quantilfunktion der Exponentialverteilung lässt sich angeben und ist

F_{\lambda }^{-1}(p)={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}

.

Damit ist der Interquartilabstand ${\frac {\ln 3}{\lambda }}\approx {\frac {1{,}10}{\lambda }}$ .

Höhere Momente

Die k-ten Momente sind

\operatorname {E} (X^{k})={\frac {k!}{\lambda ^{k}}}

.

Dies lässt sich zum Beispiel mit der k-ten Ableitung der momenterzeugenden Funktion zeigen.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

g_{X}(t)=\ln \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)

für

t<\lambda

.

Damit ist die k-te Kumulante $\kappa _{k}={\frac {(k-1)!}{\lambda ^{k}}}$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\varphi _{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -\operatorname {i} t}}

.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Exponentialverteilung ist

m_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}

für

t<\lambda

.

Entropie

Die Entropie der Exponentialverteilung beträgt

H(X)=1-\ln(\lambda )

.

Überlebenswahrscheinlichkeit

Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung und im technischen Bereichen als Ausdruck für die Zuverlässigkeit eines Gerätes verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie Überlebensfunktion und die Ausfallrate mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man das Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebensfunktion:

P(X\operatorname {>} x)=1-F(x)=\mathrm {e} ^{-\lambda x}

Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt $x_{0}$ bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

P(X>x_{0}+x|X>x_{0})={\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda (x_{0}+x)}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x_{0}}}}=\mathrm {e} ^{-\lambda x}

Die Exponentialverteilung ist eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d. h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur Weibull-Verteilung kann die Exponentialverteilung nur für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden

Die Ausfallrate $h(x)$ ergibt sich zu

h(x)={\frac {f(x)}{1-F(x)}}={\frac {\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\mathrm {e} ^{-\lambda x}}}=\lambda

Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant und wird in der Literatur üblicherweise mit der Konstanten λ bezeichnet.

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung ist im folgenden Sinne gedächtnislos: Ist bekannt, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable $X$ den Wert $x$ überschreitet, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sie $x$ um mindestens $t$ überschreitet, genau so groß wie die, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable (mit gleichem Parameter $\lambda$ ) den Wert $t$ überschreitet, formal

P\left(X\geq x+t\,\mid \,X\geq x\right)=P\left(X\geq t\right)

.

Die Gedächtnislosigkeit ist sogar eine definierende Eigenschaft der Exponentialverteilung; diese ist die einzig mögliche stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft. Dies folgt direkt mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der daraus entstehenden Funktionalgleichung. Das diskrete Pendant hierzu ist die geometrische Verteilung als einzig mögliche diskrete gedächtnislose Verteilung.

Die Exponentialverteilung ist folglich auch die einzige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine konstante Ausfallrate aufweist.

Weitere Eigenschaften

Sind $X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1}),\,\ldots \,,X_{n}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{n})$ stochastisch unabhängig, so ist $\min(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim \operatorname {Exp} (\lambda _{1}+\dotsb +\lambda _{n})$

Sind $X_{1}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{1}),\,\ldots \,,X_{n}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{n})$ stochastisch unabhängig, so ist $X_{1}+\ldots +X_{n}$ eine Linearkombination von Exponentialverteilungen, sind die $\lambda _{i}$ alle gleich, so ist die Summe $\sim \operatorname {Erl} (n,\lambda )$ Erlang-verteilt.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Wenn $X$ eine auf dem Intervall $[0,1]$ gleichverteilte stetige Zufallsvariable ist, dann genügt $Y=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(X)$ der Exponentialverteilung mit dem Parameter $\lambda$ .

Beziehung zur Normalverteilung

Sind die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ standardnormalverteilt und unabhängig, so ist $X^{2}+Y^{2}$ exponentialverteilt mit Parameter $\lambda ={\tfrac {1}{2}}$ .

Beziehung zur geometrischen Verteilung

In Analogie zur diskreten geometrischen Verteilung bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines Ereignisses, das gemäß einem Poisson-Prozess auftritt; die geometrische Verteilung kann also als diskretes Äquivalent zur Exponentialverteilung betrachtet werden.

Wenn $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ , dann ist $\lfloor X\rfloor \sim \operatorname {Geo} (1-e^{-\lambda })$ , eine geometrische Verteilung auf $0,1,2,3,...$ .
Wenn $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ , dann ist $\lceil X\rceil \sim \operatorname {Geo} (1-e^{-\lambda })$ , eine geometrische Verteilung auf $1,2,3,4,...$ .

Beziehung zur Gammaverteilung

Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d. h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des $n$ -ten Ereignisses eines Poisson-Prozesses, wird mit der Gammaverteilung beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter $\lambda$ ist also identisch mit der Gammaverteilung mit Parametern $1$ und $\lambda$ . Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von $n$ unabhängigen, $\operatorname {Exp} (\lambda )$ -verteilten Zufallsvariablen gamma- oder Erlang-verteilt mit Parametern $n$ und $\lambda$ .

Die Faltung von zwei Exponentialverteilungen mit demselben $\lambda$ ergibt eine Gammaverteilung mit $p=2$ , $b=\lambda$ .

Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung

Ist der Parameter $\lambda$ der Exponentialverteilung $\operatorname {Exp} (\lambda )$ eine Zufallsvariable, die wie eine Gammaverteilung $G(a,b)$ verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine Gamma-Gamma-Verteilung $G(a,b,1)$ verteilt.

Beziehung zur Pareto-Verteilung

Wenn $X$ Pareto-verteilt $\operatorname {Par} (\lambda ,1)$ mit Parametern $\lambda$ und $1$ ist, dann ist $\log {X}$ exponentialverteilt $\operatorname {Exp} (\lambda )$ mit dem Parameter $\lambda$ .

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Abstände zwischen dem Eintreten zufälliger Ereignisse können häufig mit der Exponentialverteilung beschrieben werden. Insbesondere gilt, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit Rate $\lambda$ exponentialverteilt mit dem Parameter $\lambda$ ist. In diesem Fall ist die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge $\Delta w$ Poisson-verteilt mit Parameter $\lambda \cdot \Delta w$ .

Herleitung: Sei w eine Orts- oder Zeitvariable und $\lambda$ die kleine konstante Eintretenshäufigkeit von Ereignissen im Einheitsintervall von w. Dann findet man mit den poissonschen Annahmen die Wahrscheinlichkeit für das nächste Eintreten eines Ereignisses im kleinen Intervall $[w,w+\Delta w]$ als Produkt der Wahrscheinlichkeit, kein Ereignis bis w und eins im Intervall $[w,w+\Delta w]$ zu haben:

P_{1}(w+\Delta w)=\mathrm {e} ^{-\lambda \cdot w}\cdot \lambda \Delta w

Daraus ergibt sich nach Division durch $\Delta w$ die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\lambda }(w)=\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda \cdot w}$ der Exponentialverteilung mit $\lambda$ als Ereignisrate und $1/\lambda$ als mittlerem Ereignisabstand.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung bestimmt, die zufällige Zeit bis zum $n$ -ten Ereignis ist Erlang-verteilt. Im Fall $n=1$ geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über $\operatorname {Erl} (\lambda ,1)=\operatorname {Exp} (\lambda )$ , mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.

Die Summe von $n$ unabhängigen $\operatorname {Exp} (\lambda )$ exponentialverteilten Zufallsgrößen hat die Erlang-Verteilung $n$ -ter Ordnung $\operatorname {Erl} (\lambda ,n)$ .

Beziehung zur Weibull-Verteilung

Mit $\beta =1$ geht die Weibull-Verteilung in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter Ausfallrate $\lambda$ . Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender ( $\lambda >1$ ) oder fallender ( $\lambda <1$ ) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
Wenn $X$ exponentialverteilt ist, dann ist $X^{\lambda }$ Weibull-verteilt.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung geht für $n=2$ in die Exponentialverteilung mit dem Parameter $\lambda ={\tfrac {1}{2}}$ über.

Beziehung zur Rayleigh-Verteilung

Wenn $X$ exponentialverteilt ist mit Rate $\lambda$ , dann ist ${\sqrt {X}}$ Rayleigh-verteilt mit Skalenparameter ${\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}$ .

Beziehung zur Laplace-Verteilung

Sind $X_{\lambda },Y_{\lambda }$ zwei unabhängige Zufallsvariablen, die beide Exponentialverteilt zum Parameter $\lambda$ sind, dann ist sowohl $X_{\lambda }-Y_{\lambda }$ als auch $Y_{\lambda }-X_{\lambda }$ Laplace-verteilt.

Beziehung zur Standard-Gumbel-Minimum-Verteilung

Die Dichte des Logarithmus einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen $X\sim \operatorname {Exp} (\lambda =1)$ folgt einer Standard-Gumbel-Verteilung (Minimum)

f(z)=\operatorname {exp} \left(z\right)\operatorname {exp} \left(-\operatorname {exp} \left(z\right)\right)

.

Anwendungsbeispiel

Die Exponentialverteilung ist eine typische Lebensdauerverteilung. So ist beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Bauelementen häufig annähernd exponentialverteilt. Hierbei spielt besonders die Gedächtnislosigkeit eine bedeutende Rolle: die Wahrscheinlichkeit, dass ein x Tage altes Bauelement noch mindestens t Tage hält, ist demnach genauso groß wie die, dass ein neues Bauelement überhaupt t Tage hält. Charakteristisch bei der Exponentialverteilung ist die konstante Ausfallrate $\lambda$ .

Dies ist zum Beispiel bei Glühlampen nur annähernd richtig, da diese nur beim Einschalten stark beansprucht werden. Auf Lebewesen darf ebenfalls keine Exponentialverteilung angewendet werden, sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht.

Beispiel: In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es stellt sich heraus, dass durchschnittlich pro Tag 5 ‰ der Wecker unabhängig von ihrem Alter ausfallen.

Die Zufallsgröße $X=$ „Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers in Tagen“ ist also exponentialverteilt mit der Ausfallrate $\lambda =0{,}005$ . Entsprechend beträgt die durchschnittliche Zeitdauer, bis ein Wecker ausfällt, $1/\lambda =200$ Tage.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens (noch) 20 Tage hält, ist

1-\mathrm {e} ^{-0{,}005\cdot 20}=0{,}0952

d. h. nach 20 Tagen sind durchschnittlich ca. 10 % der Wecker ausgefallen.

Entsprechend ist der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten,

1-\left(1-\mathrm {e} ^{-0{,}005\cdot 180}\right)=1-0{,}5934=0{,}4066

also halten durchschnittlich ca. 40 % der Wecker länger als 180 Tage.

Obwohl bei einer exponentialverteilten Lebensdauerverteilung am Anfang absolut betrachtet mehr Geräte ausfallen, ist die Ausfallrate konstant: in jedem Zeitintervall fallen relativ betrachtet immer gleich viele Geräte aus. Dieser Umstand darf nicht mit den Frühausfällen der Badewannenkurve verwechselt werden. Hier ist zu Beginn die Ausfallrate $\lambda$ höher und nicht konstant über die Lebensdauer. Zur Beschreibung der Badewannenkurve ist eine andere Lebensdauerverteilung (Weibull-Verteilung) notwendig.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung exponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Inverse der Verteilungsfunktion $F(x)=1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}$ lautet hierbei $F^{-1}(y)=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-y)$ . Zu einer Folge von Standardzufallszahlen $u_{i}$ lässt sich daher eine Folge $x_{i}:=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(1-u_{i})$ exponentialverteilter Zufallszahlen berechnen. Einfacher kann stattdessen auch $x_{i}:=-{\tfrac {1}{\lambda }}\ln(u_{i})$ gerechnet werden.