Fünfter Kreisteilungskörper/Einheiten/Beispiel

Der fünfte Kreisteilungskörper (vergleiche Beispiel) die Gestalt

${}K_{5}\cong \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\right)}\,$

und die komplexen Einbettungen sind durch ${}X\mapsto e^{j2\pi {\mathrm {i} }/5}$ mit  ${}j=1,2,3,4$  gegeben, wobei die Einbettungen zu ${}1$ und ${}4$ und zu ${}2$ und ${}3$ zueinander komplex-konjugiert sind. Es gibt keine reelle Einbettung und es ist  ${}r=0$  und  ${}s=2$.  Der Rang der Einheitengruppe ist also ${}1$ nach Fakt. Wegen  ${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\subset K_{5}$  gibt es einen reellen Zwischenkörper und dieser enthält auch schon eine Einheitengruppe vom Rang ${}1$. Es ist

${}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=x^{4}+x+1=-x^{2}-x^{3}\,$

und wegen

${}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-1\,$

ist dies eine Einheit im quadratischen Zahlbereich zu ${}5$, und zwar nach Fakt die Fundamentaleinheit ${}>1$.