Fünfter Kreisteilungsring/Kleine Primzahl/Zerlegungsverhalten/Beispiel

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Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring umd im quadratischen Zahlbereich zu .

Es sei der fünfte Kreisteilungsring. Wir verwenden den Zwischenring (vergleiche Beispiel)

mit

und . Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl kommen als Restekörper der Primideale in oberhalb von nach Fakt nur die Körper in Frage (die Möglichkeit werden wir gleich ausschließen), und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln (über fallen die zusammen) geben. Wegen Fakt ist dies genau dann der Fall, wenn ein Vielfaches von ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten . Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten.

Sei . Es ist ein Körper mit vier Elementen und es ist ein Körper mit Elementen.

Sei . Hier ist über

und somit . Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von und dessen Restklassenkörper ist , was auch von Fakt her klar ist.

Bei sind fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

Oberhalb von liegen in vier Primideale, alle mit dem Restekörper . Dabei liegen und über und und über in .

Bei ist , in gibt es somit zwei Primideale oberhalb von , beide mit dem Restekörper . In gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb von in zwei Primideale, beide mit dem Restekörper . Über liegt die Faktorzerlegung

vor.