Fünfter Kreisteilungsring/Kleine Primzahl/Zerlegungsverhalten/Beispiel

Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring umd im quadratischen Zahlbereich zu ${}{\sqrt {5}}$.

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=\mathbb {Z} [x]$ der fünfte Kreisteilungsring. Wir verwenden den Zwischenring (vergleiche Beispiel)

${}{\begin{aligned}\mathbb {Z} &\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\\&\subseteq \mathbb {Z} [W]/(W^{2}-W-1)\\&=S\\&\subseteq \mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)\\&=S[X]/(X^{2}+XW+1)\end{aligned}}$

mit

${}w={\frac {v+1}{2}}=x^{3}+x^{2}+1\,$

und ${}v^{2}=5$. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Zu einer Primzahl ${}p$ kommen als Restekörper der Primideale in ${}R$ oberhalb von ${}(p)$ nach Fakt nur die Körper ${}\mathbb {Z} /(p),{\mathbb {F} }_{p^{2}},{\mathbb {F} }_{p^{3}},{\mathbb {F} }_{p^{4}}$ in Frage (die Möglichkeit ${}{\mathbb {F} }_{p^{3}}$ werden wir gleich ausschließen), und zwar muss es in den Restekörpern fünf Einheitswurzeln (über ${}(5)$ fallen die zusammen) geben. Wegen Fakt ist dies genau dann der Fall, wenn ${}p^{e}-1$ ein Vielfaches von ${}5$ ist. Daraus ergeben sich die Möglichkeiten ${}e=1,2,4$. Wir geben Beispiele für typisches Zerlegungsverhalten.

Sei ${}p=2$. Es ist ${}S/2S$ ein Körper mit vier Elementen und es ist ${}R/2R$ ein Körper mit ${}16$ Elementen.

Sei ${}p=5$. Hier ist über ${}\mathbb {Z} /(5)$

${}(X-1)(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)=X^{5}-1=(X-1)^{5}\,$

und somit ${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-1)^{4}$. Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von ${}(5)$ und dessen Restklassenkörper ist ${}\mathbb {Z} /(5)$, was auch von Fakt her klar ist.

Bei ${}q=11$ sind ${}1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5)\,.$

Oberhalb von ${}(11)$ liegen in ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ vier Primideale, alle mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(11)$. Dabei liegen ${}(X-3)$ und ${}(X-4)$ über ${}(W-4)$ und ${}(X+2)$ und ${}(X-5)$ über ${}(W-8)$ in ${}S$.

Bei ${}p=19$ ist ${}9^{2}=5=10^{2}$, in ${}S$ gibt es somit zwei Primideale oberhalb von ${}(19)$, beide mit dem Restekörper ${}\mathbb {Z} /(19)$. In ${}\mathbb {Z} /(19)$ gibt es aber keine fünfte Einheitswurzeln, deshalb liegen oberhalb von ${}(19)$ in ${}R$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper ${}{\mathbb {F} }_{361}$. Über ${}(19)$ liegt die Faktorzerlegung

${}X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1={\left(X^{2}+5X+1\right)}{\left(X^{2}+15X+1\right)}\,$

vor.