Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und ${}R$ der zugehörige Zahlbereich. Es sei ${}m\in \mathbb {Z}$. Dann gibt es einen Gruppenisomorphismus

${}R/(m)\cong (\mathbb {Z} /(m))^{n}\,.$

Für eine Primzahl ${}m=p$ ist ${}R/(m)$ eine Algebra der Dimension ${}n$ über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zu jeder Primzahl ${}p$ gibt es Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}R$ mit ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen