Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel

Es sei  $R=\mathbb{Z}[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1)=\mathbb{Z}[x]$  der fünfte Kreisteilungsring. Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst  $p=5$.  Hier ist über $\mathbb{Z}/(5)$

$(X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)=X^5-1=(X-1{)}^5$

und somit  $X^4+X^3+X^2+X+1=(X-1{)}^4$.  Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von $(5)$ und dessen Restklassenkörper ist $\mathbb{Z}/(5)$, der Trägheitsgrad ist also $1$ und der Verzweigungsindex ist $4$.

Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen  $p\ne 5$  versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei

$v=x-x^2-x^3+x^4.$

Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel) zeigt  $v^2=5$,  d.h. es liegt ein Zwischenring

$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}[\sqrt{5}]\subset \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}]=\mathbb{Z}[x^3+x^2]=S\subset \mathbb{Z}[x]$

vor, wobei der Ganzheitsring zu $\sqrt{5}$ mit Fakt bestimmt wurde.

Für

$p=1,4mod5$

ist $5$ ein Quadrat modulo $p$. Über diesen Primzahlen liegen in $S$ zwei Primideale, beide mit dem Restekörper $\mathbb{Z}/(p)$ und dem Trägheitsgrad $1$. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad $2$. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von $p$ ab.

Bei  $p=11$  sind $1,3,4,5,9$ fünfte Einheitswurzeln in $\mathbb{Z}/(11)$ und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

$X^4+X^3+X^2+X+1=(X-3)(X+2)(X-4)(X-5).$

Über $(11)$ liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad $1$. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen $p$ mit  $p=1mod5$  nach Fakt.

Bei  $p=4mod5$  gibt es nur die $1$ als fünfte Einheitswurzel und es gilt

$X^4+X^3+X^2+X+1=(X^2+\frac{\sqrt{5}+1}{2}X+1)(X^2-\frac{\sqrt{5}-1}{2}X+1),$

wobei für $\sqrt{5}$ eine Quadratwurzel von $5$ aus $\mathbb{Z}/(p)$ einzusetzen ist. Bei  $p=19$  ist beispielsweise  $9^2=5$  und daher ist

$X^4+X^3+X^2+X+1=(X^2+5X+1)(X^2+15X+1).$

Bei  $p=2,3mod5$  (aber $p\ne 2$) ist $5$ kein Quadrat in $\mathbb{Z}/(p)$ und somit ist

$S/pS\cong {𝔽}_{p^2}.$

Nach Fakt liegen über diesen Primidealen im Kreisteilungskörper jeweils nur ein Primideal mit dem Restekörper ${𝔽}_{p^4}$.