Es sei
.
Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst
.
Hier ist über
-

und somit
.
Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von
und dessen Restklassenkörper ist
, der
Trägheitsgrad
ist also
und der
Verzweigungsindex
ist
.
Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen
versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei
-

Eine direkte Rechnung
(siehe
Beispiel)
zeigt
,
d.h. es liegt ein Zwischenring
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]\subset \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}]=\mathbb {Z} [x^{3}+x^{2}]=S\subset \mathbb {Z} [x]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da17b4990b5a6b765a2dcbf502eabbf9a03a4b86)
vor, wobei der Ganzheitsring zu
mit
Fakt
bestimmt wurde.
Für
-

ist
ein Quadrat modulo
. Über diesen Primzahlen liegen in
zwei Primideale, beide mit dem Restekörper
und dem Trägheitsgrad
. Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad
. Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von
ab.
Bei
sind
fünfte Einheitswurzeln in
und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung
-

Über
liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad
. Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen
mit
nach
Fakt.
Bei
gibt es nur die
als fünfte Einheitswurzel und es gilt
-

wobei für
eine Quadratwurzel von
aus
einzusetzen ist. Bei
ist beispielsweise
und daher ist
-

Bei