Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Es sei . Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Sei zuerst . Hier ist über

und somit . Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von und dessen Restklassenkörper ist , der Trägheitsgrad ist also und der Verzweigungsindex ist .

Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei

Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel) zeigt , d.h. es liegt ein Zwischenring

vor, wobei der Ganzheitsring zu mit Fakt bestimmt wurde.

Für

ist ein Quadrat modulo . Über diesen Primzahlen liegen in zwei Primideale, beide mit dem Restekörper und dem Trägheitsgrad . Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad . Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von ab.

Bei sind fünfte Einheitswurzeln in und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

Über liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad . Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen mit nach Fakt.

Bei gibt es nur die als fünfte Einheitswurzel und es gilt

wobei für eine Quadratwurzel von aus einzusetzen ist. Bei ist beispielsweise und daher ist

Bei