F p/Variablenvertauschung/xy^p-x^py/Funktional invariant/Beispiel

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe ${}G=S_{2}\cong \mathbb {Z} /(2)$ auf ${}V={\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{2}$ (${}p\geq 2$), das nichttriviale Element vertauscht die Komponenten (das entspricht der Matrix ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ bzw. $X\longleftrightarrow Y$). Wegen

${}f=XY^{p}-X^{p}Y=X{\left(Y^{p}-Y\right)}-Y{\left(X^{p}-X\right)}\,$

ist dieses Polynom, aufgefasst als Funktion auf ${}V$, die Nullfunktion und somit insbesondere ${}G$-invariant. Dagegen ist ${}f$ kein symmetrisches Polynom und gehört nicht zu ${}\mathbb {Z} /(p)[X,Y]^{G}$.