Faktorieller Bereich/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Aus der Beziehung ${}b=ac$ folgt mit Fakt direkt

${}{\exp _{p}(b)}={\exp _{p}(ac)}={\exp _{p}(a)}+{\exp _{p}(c)}\geq {\exp _{p}(a)}\,.$

${}(2)\Rightarrow (1)$. Wir schreiben

${}a=u\prod _{p}p^{\exp _{p}(a)}\,$

und

${}b=v\prod _{p}p^{\exp _{p}(b)}\,$

mit Einheiten ${}u,v$. Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}t=u^{-1}v\prod _{p}p^{{\exp _{p}(b)}-{\exp _{p}(a)}}$ ein Ringelement, das mit ${}a$ multipliziert gerade ${}b$ ergibt.

Zur bewiesenen Aussage