Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Gruppenhomomorphismus/Fakt

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich mit Quotientenkörper  ${}K=Q(R)$.  Es sei ${}p_{i}$, ${}i\in I$, ein System von paarweise nicht assoziierten Primelementen von ${}R$ und sei ${}U$ die Einheitengruppe von ${}R$

Dann ist (wobei $u(q)$ die nach Fakt eindeutige Einheit bezeichnet)

$Q(R)^{\times }\longrightarrow U\times \mathbb {Z} ^{(I)},\,q\longmapsto (u(q),\operatorname {exp} _{p_{i}}^{}{\left(q\right)}),$

ein Gruppenisomorphismus mit der Umkehrabbildung

$U\times \mathbb {Z} ^{(I)}\longrightarrow Q(R)^{\times },\,(u,{e_{p_{i}}})\longmapsto u\prod _{i\in I}p^{e_{p_{i}}}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen