Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primelement/Exponent/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

${}{\frac {f}{g}}={\frac {h}{q}}\,$

eine weitere Darstellung, also

${}fq=hg\,.$

Dann ist nach Fakt

${}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}+\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(fq\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(hg\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(h\right)}+\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)}\,,$

woraus sich

${}\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(f\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(g\right)}=\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(h\right)}-\operatorname {exp} _{p}^{}{\left(q\right)}\,$

ergibt. Die Gruppenhomomorphie ergibt sich ebenfalls aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage