Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn das uneigentliche Integral existiert, so betrachten wir die Abschätzung

${}\sum _{n=2}^{k}f(n)\leq \int _{1}^{k}f(t)\,dt\,,$

die darauf beruht, dass die linke Seite das Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion für ${}f$ auf ${}[1,k]$ ist. Da die rechte Seite beschränkt ist, gilt dies auch für die linke Seite, sodass wegen ${}f(n)\geq 0$ die Reihe konvergiert.
Ist umgekehrt die Reihe konvergent, so betrachten wir die Abschätzung

${}\int _{1}^{k}f(t)\,dt\leq \sum _{n=1}^{k-1}f(n)\,,$

die gilt, da die rechte Seite das Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ist. Wegen ${}f(t)\geq 0$ ist die Integralfunktion ${}x\mapsto \int _{1}^{x}f(t)\,dt$ wachsend und beschränkt, da die rechte Seite wegen der Konvergenz der Reihe beschränkt ist. Daher besitzt die Integralfunktion für ${}x\mapsto \infty$ einen Grenzwert und das uneigentliche Integral existiert.

Zur bewiesenen Aussage