Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn das uneigentliche Integral existiert, so betrachten wir die Abschätzung

die darauf beruht, dass die linke Seite das Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion für auf ist. Da die rechte Seite beschränkt ist, gilt dies auch für die linke Seite, so dass wegen die Reihe konvergiert.
Ist umgekehrt die Reihe konvergent, so betrachten wir die Abschätzung

die gilt, da die rechte Seite das Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion ist. Wegen ist die Integralfunktion wachsend und beschränkt, da die rechte Seite wegen der Konvergenz der Reihe beschränkt ist. Daher besitzt die Integralfunktion für einen Grenzwert und das uneigentliche Integral existiert.