Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei

$\phi :{ℝ}^n⟶ℝ$

(mit $m=n-1\ge 0$) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0\in ℝ$ regulär sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus Fakt und der kanonischen Volumenform $\omega$ die Beziehung

$\tau (P,v_1,\dots ,v_m)=\pm \Vert \mathrm{Grad}\phi (P)\Vert \omega (P,v_1,\dots ,v_m)$

besteht.

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