Faser/Reguläre Funktionen/Volumenform/Orthogonale Gradienten und Skalarprodukt/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$

(mit $m=n-\ell \geq 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei. Wir fassen ${}M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten

$\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)$

für jeden Punkt von ${}P\in M$ senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform ${}\tau$ aus Fakt und der kanonischen Volumenform ${}\omega$ die Beziehung

${}\tau (P,v_{1},\ldots ,v_{m})=\pm \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P)}\Vert \cdots \Vert {\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P)}\Vert \omega (P,v_{1},\ldots ,v_{m})\,$

besteht.

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