Fermat-Kubik/Normalform/Beispiel

Wir möchten die Fermat-Kubik

${}X^{3}+Y^{3}+Z^{3}=0\,$

in Charakteristik ${}\neq 2,3$ auf die kurze Weierstraßform transformieren. Die Hesse-Matrix ist

${\begin{pmatrix}6X&0&0\\0&6Y&0\\0&0&6Z\end{pmatrix}}.$

Daher ist ${}(0,1,-1)$ ein Wendepunkt der Kurve, den wir nach ${}(0,1,0)$ transformieren wollen. Wir erreichen dies mit den neuen Variablen ${}X=X,Y=Y,W=Y+Z$. Die Gleichung wird zu

${}X^{3}+Y^{3}+(W-Y)^{3}=X^{3}+W^{3}-3W^{2}Y+3WY^{2}=0\,.$

Die (projektive) Tangente in ${}(0,1,0)$ wird durch ${}W=0$ beschrieben. Die Dehomogenisierung bezüglich ${}W$ führt auf die affine Gleichung

${}x^{3}=1-3y+3y^{2}\,,$

durch eine quadratische Ergänzung und Normierung entsteht eine Gleichung der Form

${}{\tilde {y}}^{2}=x^{3}+b\,$

mit ${}b\neq 0$, was man wiederum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu ${}1$ normieren kann.