Fläche im Raum/Paralleles Vektorfeld/Einheitsnormalenfeld/Kreuzprodukt/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}(N(\gamma (t))\times F(t))'&=(N(\gamma (t)))'\times F(t)+N(\gamma (t))\times F'(t)\\&={\left(DN\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}\times F(t)+N(\gamma (t))\times F'(t).\end{aligned}}$

Es ist zu zeigen, dass dieser Vektor stets senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\gamma (t)}Y$ steht. Da ${}F'(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum steht, ist er linear abhängig zum Normalenvektor ${}N(\gamma (t))$ und daher ist der rechte Summand gleich ${}0$ nach Fakt  (3). Im linken Summanden ist ${}F(t)$ tangential nach Voraussetzung und ${}{\left(DN\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}$ ist tangential nach Fakt. Daher ist nach Fakt  (6)

der linke Summand senkrecht auf dem Tangentialraum und somit ist insgesamt das Vektorfeld parallel.

Zur gelösten Aufgabe