Flächenberechnung/Parallelogramm im R^n/(0,2,3) und (1,4,-2)/Beispiel

Wir betrachten das von den Vektoren ${}{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}$ aufgespannte Parallelogramm im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Nach Fakt müssen wir die Skalarprodukte dieser Vektoren berechnen. Es ist

$\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}\right\rangle =13,\,\left\langle {\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =2,\,\left\langle {\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-2\end{pmatrix}}\right\rangle =21.$

Dies führt zur Matrix

${\begin{pmatrix}13&2\\2&21\end{pmatrix}}$

mit der Determinante ${}269$. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist also ${}{\sqrt {269}}$.