Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt

Es sei $(V,⟨-,-⟩)$ ein euklidischer Vektorraum, sei $v_1,\dots ,v_n$ eine Basis von $V$ und sei $P$ das davon erzeugte Parallelotop.

Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß ${\lambda }_V$ auf $V$

${\lambda }_V(P)={(det(⟨v_i,v_j⟩{)}_{1\le i,j\le n})}^{1/2}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen