Flächentreue Abbildung/Dreiecks-Polynome/Beispiel

Es sei  $h\in ℝ[y]$  ein beliebiges Polynom in der einen Variablen $y$. Dann ist die Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(x,y)⟼(x+h(y),y)$

ein flächentreuer Diffeomorphismus. Die Jacobi-Matrix von $\phi$ ist ja

$\mathrm{Jak}(\phi {)}_{(x,y)}=\left(\begin{array}{cc}1& h^{\prime }(y)\\ 0& 1\end{array}\right),$

sodass die Jacobi-Determinante konstant gleich $1$ ist. Wenn man die Rollen von $x$ und $y$ vertauscht und die Hintereinanderschaltung von solchen Abbildungen betrachtet, so erhält man flächentreue Abbildungen, denen man es nicht auf den ersten Blick ansieht. Beispielsweise ist zu  $\phi (x,y)=(x+y^2,y)$  und  $\psi (x,y)=(x,y+x^3)$  die Hintereinanderschaltung

$\begin{array}{cc}(\psi \circ \phi )(x,y)& =\psi (\phi (x,y))\\ & =\psi (x+y^2,y)\\ & =(x+y^2,y+{(x+y^2)}^3)\\ & =(x+y^2,y+x^3+3x^2{y}^2+3x{y}^4+y^6).\end{array}$