Flächentreue Abbildung/Dreiecks-Polynome/Beispiel

Es sei ${}h\in \mathbb {R} [y]$ ein beliebiges Polynom in der einen Variablen ${}y$. Dann ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+h(y),y)$

ein flächentreuer Diffeomorphismus. Die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ ist ja

${}\operatorname {Jak} (\varphi )_{(x,y)}={\begin{pmatrix}1&h'(y)\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

sodass die Jacobi-Determinante konstant gleich ${}1$ ist. Wenn man die Rollen von ${}x$ und ${}y$ vertauscht und die Hintereinanderschaltung von solchen Abbildungen betrachtet, so erhält man flächentreue Abbildungen, denen man es nicht auf den ersten Blick ansieht. Beispielsweise ist zu ${}\varphi (x,y)=(x+y^{2},y)$ und ${}\psi (x,y)=(x,y+x^{3})$ die Hintereinanderschaltung

${}{\begin{aligned}(\psi \circ \varphi )(x,y)&=\psi (\varphi (x,y))\\&=\psi \left(x+y^{2},\,y\right)\\&=\left(x+y^{2},\,y+{\left(x+y^{2}\right)}^{3}\right)\\&=\left(x+y^{2},\,y+x^{3}+3x^{2}y^{2}+3xy^{4}+y^{6}\right).\end{aligned}}$