Folge/Konstante Funktionenfolge/Konvergenzverhalten/Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}{\mathbb {K} }$. Es sei ${}T$ eine nichtleere Menge und ${}f_{n}\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ die konstante Funktion mit dem Wert ${}x_{n}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent.
2. Die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist punktweise konvergent.
3. Die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist gleichmäßig konvergent.

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