Folge/R/Nachbarschaftsabschätzung mit Stammbrüchen/Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Das muss keine Cauchy-Folge sein. Betrachten wir die harmonische Reihe, also die Folge, die durch

${}x_{n}:=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\,$

gegeben ist. Es ist dann

${}x_{n}-x_{n-1}={\frac {1}{n}}\,$

und diese Folge erfüllt die Bedingung. Die harmonische Reihe ist aber nach Beispiel

nicht konvergent und daher auch keine Cauchy-Folge.

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