Folge/n-te Wurzel aus n/Monotonie ab 3/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{n}}&=n^{\frac {1}{n}}\\&=(e^{\ln n})^{\frac {1}{n}}\\&=e^{\frac {\ln n}{n}}.\end{aligned}}$

1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{\frac {\ln x}{x}},$

und zeigen, dass diese Funktion für ${}x\geq 3$ fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen ${}n\geq 3$. Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass

$g\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {\ln x}{x}},$

für ${}x\geq 3$ fallend ist. Dazu ziehen wir Fakt heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion ${}g$. Diese ist

${}{\begin{aligned}g'(x)&={\frac {1}{x^{2}}}-{\frac {\ln x}{x^{2}}}\\&={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}.\end{aligned}}$

Für ${}x\geq 3>e$ ist ${}\ln x\geq 1$ und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.

2. Wir zeigen, dass ${}{\frac {\ln n}{n}}$ für ${}n\rightarrow \infty$ gegen ${}0$ konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt ${}n$ auch ${}e^{k}$ einsetzen, was zur Folge ${}{\frac {k}{e^{k}}}$ führt. Für diese Folge gilt

${}{\begin{aligned}{\frac {k}{e^{k}}}&\leq {\frac {k}{1+k+{\frac {1}{2}}k^{2}}}\\&={\frac {\frac {1}{k}}{{\frac {1}{k^{2}}}+{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}}},\end{aligned}}$

ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also ${}0$. Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit ${}e^{\frac {\ln n}{n}}$ gegen ${}e^{0}=1$.

Zur gelösten Aufgabe