Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis

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Beweis

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

die eine Potenzreihe auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe mit

angeben. Für ergibt sich daraus die Bedingung , die wegen eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich . Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten für schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten , , der Produktreihe gleich sind. Für den -ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

Dabei sind bis auf alle Werte festgelegt, und wegen ergibt sich eine eindeutige Lösung für .

Zur bewiesenen Aussage