Fourier-Matrix/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei und die -te primitive Einheitswurzel. Unter der -ten Fourier-Matrix versteht man die -Matrix

Entscheidend sind dabei für die Exponenten die Restklassen . Es handelt sich um eine symmetrische Matrix. Die ersten Fourier-Matrizen sind



Lemma  

Für die Fourier-Matrizen gilt

Insbesondere sind die Fourier-Matrizen invertierbar.

Beweis  

Wir wenden die Regel „Zeile mal Spalte“ auf die Zeile und die Spalte an (wir arbeiten konsequent mit der Indexmenge ), dies ergibt den Eintrag

Dies ist gleich bei und andernfalls gleich nach der endlichen geometrischen Reihe.


Für einen Vektor nennt man die diskrete Fourier-Transformation von , das Ergebnis nennt man den Fourier-Vektor zu , und für einen (Spektral)-Vektor nennt man die inverse diskrete Fourier-Transformation von . Nach Fakt sind diese beiden linearen Operationen invers zueinander. Die Darstellung

mit

nennt man die Fourier-Summe oder Fourier-Darstellung für . Im gegebenen Kontext sind zu einem Vektor die Koeffizienten für beliebige Indizes als mit dem kanonischen Vertreter zwischen und zu verstehen. Dies gilt insbesondere in der folgenden Definition.


Definition  

Sei . Zu Vektoren versteht man unter der periodischen Faltung den Vektor mit den Koeffizienten



Lemma  

Die diskrete Fourier-Transformation führt die periodische Faltung von Vektoren in das komponentenweise definierte Produkt über.

Es ist also

Beweis  

Es sei die erste primitive -te Einheitswurzel. Es ist