Fourier-Transformation/Ableitungseigenschaften/Fakt

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion und sei ${}(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$. Für jedes Tupel ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})\leq (r_{1},\ldots ,r_{n})$ sei ${}{\mathfrak {t}}_{1}^{k_{1}}\cdots {\mathfrak {t}}_{n}^{k_{n}}f$ integrierbar.

Dann ist die Fourier-Transformierte ${}{\hat {f}}$ von ${}f$ in Richtung ${}D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}$ partiell differenzierbar und es gilt

${}D_{1}^{r_{1}}\cdots D_{n}^{r_{n}}{\left({\hat {f}}\right)}=(-{\mathrm {i} })^{r_{1}+\cdots +r_{n}}{\left({\mathfrak {t}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {t}}_{n}^{r_{n}}f\right)}^{\hat {\,}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen