Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir nehmen an, dass $P$ keine Nullstelle besitzt. Dann ist $\frac{1}{P(z)}$ eine ganze Funktion. Für $z\to \mathrm{\infty }$ geht aber $|P(z)|$ gegen $\mathrm{\infty }$, da $P$ nicht konstant ist. Insbesondere ist

$|P(z)|\ge 1$

für $|z|$ hinreichend groß, siehe Aufgabe, sagen wir für  $|z|\ge c$.  Daher ist

$|\frac{1}{P(z)}|\le 1$

für  $|z|\ge c$  und für  $|z|\le c$  ist $|\frac{1}{P(z)}|$ nach Fakt ebenfalls beschränkt. Also ist $\frac{1}{P(z)}$ beschränkt im Widerspruch zu Fakt.

Zur bewiesenen Aussage