Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir nehmen an, dass ${}P$ keine Nullstelle besitzt. Dann ist ${}{\frac {1}{P(z)}}$ eine ganze Funktion. Für ${}z\rightarrow \infty$ geht aber ${}\vert {P(z)}\vert$ gegen ${}\infty$, da ${}P$ nicht konstant ist. Insbesondere ist

${}\vert {P(z)}\vert \geq 1\,$

für ${}\vert {z}\vert$ hinreichend groß, siehe Aufgabe, sagen wir für ${}\vert {z}\vert \geq c$. Daher ist

${}\vert {\frac {1}{P(z)}}\vert \leq 1\,$

für ${}\vert {z}\vert \geq c$ und für ${}\vert {z}\vert \leq c$ ist ${}\vert {\frac {1}{P(z)}}\vert$ nach Fakt ebenfalls beschränkt. Also ist ${}{\frac {1}{P(z)}}$ beschränkt im Widerspruch zu Fakt.

Zur bewiesenen Aussage